作业帮如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要,小东过点P作PE⊥AD交BC于F,经过一番研究之后得出两条重要结论：（1）S△APB+S△
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 09:50:52
如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要,小东过点P作PE⊥AD交BC于F,经过一番研究之后得出两条重要结论：（1）S△APB+S△
如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要,小东过点P作PE⊥AD交BC于F,经过一番研究之后得出两条重要结论：
（1）S△APB+S△CPD=S△APD+S△BPC,（2）PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
1）请你写出小东探究的过程.
2）当P在矩形外时,如图2,上述两个结论是否仍成立?若成立,请说明理由；若不成立,请写出你猜想的结论
如图,已知点P是矩形ABCD内一点,PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形,小东对该图形进行了研究.为了探究的需要,小东过点P作PE⊥AD交BC于F,经过一番研究之后得出两条重要结论：（1）S△APB+S△
解1）（1）∵AD∥BC PE⊥AD
∴PF⊥BC
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD*PE+1/2BC*PF
∵AD=BC ,S矩形=AD*EF
∴S⊿APD+S⊿BPC=1/2AD(PE+PF)=1/2AD*EF=1/2S矩形
同理S⊿APB+S⊿CPD=1/2S矩形
∴S⊿APB+S⊿CPD=S⊿APD+S⊿BPC
(2)易证明,四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理,PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²
2)(1)不成立,猜想：矩形的边所在直线将平面分成8个区域,当P在对角区域,则|S⊿APB-S⊿CPD|=|S⊿APD-S⊿BPC|；当P在AD、BC边区域,则|S⊿APD-S⊿BPC|=S⊿APB+S⊿CPD；
当P在边AB、CD区域,则|S⊿APB-S⊿CPD|=S⊿APD+S⊿BPC.
（2）成立.易证明,四边形AEFB、EFCD是矩形∴AE=BF、DE=CF
根据勾股定理,PA²+PC²=CE²+PE²+CE²+PF²=BE²+PE²+PF²+DE²=(BE²+PF²)+(PE²+DE²)=PB²+PD²