作业帮设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 06:27:08
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂
证明:由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0
(因为 ai1,...,aij,...,ain 都是实数,且aij≠0)
所以 |A|≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得|A| = ai1^2+...+aij^2+...+ain^2 > 0,这是怎么过来的?
设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,当A*=AT时,证明|A|≠0 后面的一部分解答没看懂证明:由已知A*=A^T所以有 AA^T = AA* = |A|E.再由A为n阶非零实方阵,可设aij≠0.考虑 AA^T = |A|E 第i行
|A|E=AA^T,那么|A|E的第i行第i列的元素就是A的第i行元素与A^T的第i列的元素逐个相乘之和,
【逐个相乘就是A的第i行第1列的元素与A^T的第i列第1行的元素相乘,A的第i行第2列的元素与A^T的第i列第2行的元素相乘,...,A的第i行第j列的元素与A^T的第i列第j行的元素相乘,...,A的第i行第n列的元素与A^T的第i列第n行的元素相乘,
而A^T的第i列第j行的元素就是A的第i行第j列的元素,
然后求和就是AA^T的第i行第i列元素,也就是|A|E第i行第i列的元素】
也就是|A|E中第i行第i列的|A|=ai1^2+...+aij^2+...+ain^2
由于已经设aij≠0,所以|A|>0
这种题说半天i,j的，是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵，A23不为0（具体点，不妨假设A23=2好了），其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
考察AAT的第二行...
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这种题说半天i,j的，是很容易混乱。举个实际的例子就好了
A是4阶方阵，A23不为0（具体点，不妨假设A23=2好了），其它都是0。
A=
0 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
那AT=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 0 0
考察AAT的第二行第二列的元素，就是A的第二行乘以了AT的第二列。
=0*0+0*0+2*2+0*0
=4
>0
而AAT又必定是单位阵E的整数倍，所以AAT的的所有对角线元素都应该是4，而且非对角线元素就是0
那必定有|A|不为0,（此处就是|A|=4）
收起
证明: 由已知A*=A^T
所以有 AA^T = AA* = |A|E.
再由A为n阶非零实方阵, 可设aij≠0.
考虑 AA^T = |A|E 第i行第i列的元素,得
|A| = ai1^2 ... aij^2 ... ain^2