求方程x√(y-1)+y√(x-1)=xy的实数解.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 19:45:18
求方程x√(y-1)+y√(x-1)=xy的实数解.
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求方程x√(y-1)+y√(x-1)=xy的实数解.
求方程x√(y-1)+y√(x-1)=xy的实数解.

求方程x√(y-1)+y√(x-1)=xy的实数解.
由根式的意义知y≥1,x≥1
于是设y=csc²α,x=csc²β
(α,β在(0,π/2]间)
于是原方程化为:
sin²αcotα+sin²βcotβ=1
sinαcosα+sinβcosβ=1
而1=sinαcosα+sinβcosβ
≤(sin²α+cos²α)/2+(sinβ²+cos²β)/2
=1
于是由取等条件必有sinα=cosα,sinβ=cosβ
于是α=β=π/4,csc²α=csc²β=2
于是(x,y)=(2,2)