求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.最好有过程,呵呵.其实我想说,而且,这得用导数做!求导导错了吧?没让求精确值。介值定理是什
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 21:09:49
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求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根
求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.
最好有过程,呵呵.
其实我想说,而且,这得用导数做!求导导错了吧?没让求精确值。介值定理是什么?
求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根求证方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.最好有过程,呵呵.其实我想说,而且,这得用导数做!求导导错了吧?没让求精确值。介值定理是什
证明:
令f(x)=xlgx-1,则f(x)在(2,3)内连续
∵f(2)=2lg2-10
∴由介值定理知,必至少存在一点ξ,使f(ξ)=ξlgξ-1=0
又f'(x)=(xlgx)'=(xlnx/ln10)'=(1/ln10)(lnx+1)
∴ f'(x)>0,f(x)单调递增
∴在(2,3)内至多有一点ξ,使f(ξ)=ξlgξ-1=0
综上可知,在(2,3)内有且仅有一点ξ,使f(ξ)=ξlgξ-1=0
即方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根
证毕
设y=xlgx-1 x∈(2,3) 求导得到y'=lgx+1>0 在(2,3)上 故y在(2,3)上单调递增
当x=2时,y=2*Lg2-1<0
当x=3时,y=3*Lg3-1>0
根据零点定理知道,y在(2,3)上一定存在零点。
又由于y在(2,3)上单调递增,故只存在一个零点,即对应的方程在(2,3)只有一个实根。...
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设y=xlgx-1 x∈(2,3) 求导得到y'=lgx+1>0 在(2,3)上 故y在(2,3)上单调递增
当x=2时,y=2*Lg2-1<0
当x=3时,y=3*Lg3-1>0
根据零点定理知道,y在(2,3)上一定存在零点。
又由于y在(2,3)上单调递增,故只存在一个零点,即对应的方程在(2,3)只有一个实根。
收起
解出确切值估计高中水平的老师也不行,只能画出大概图像,即1/x的图像于lgx在(2,3)的交点有且只有一个。
令f(x)=xlgx-1=xlnx/ln10-1.
f‘(x)=(lnx+1)/ln10
在(2,3)区间内,f’(x)>0,函数f(x)为单调增函数。
f(2)=2*lg2-1<0,f(3)=3lg3-1>0,所以方程xlgx=1在区间(2,3)内有且仅有一个实根.
画lgx和1/x图像
其交点为方程唯一实根
显而易见x∈(2,3) LZ采纳我的吧~~~