关于一个解析几何方程(非高中解析几何)有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长这个方程为何是椭圆方程?如何变换得到标准椭圆方程即如何变化及变化后的结果是什么
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 14:04:12
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关于一个解析几何方程(非高中解析几何)有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长这个方程为何是椭圆方程?如何变换得到标准椭圆方程即如何变化及变化后的结果是什么
关于一个解析几何方程(非高中解析几何)
有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长
这个方程为何是椭圆方程?
如何变换得到标准椭圆方程
即如何变化及变化后的结果是什么
关于一个解析几何方程(非高中解析几何)有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长这个方程为何是椭圆方程?如何变换得到标准椭圆方程即如何变化及变化后的结果是什么
(1)首先研究一下直角坐标系的旋转,假设有直角坐标系x-o-y经过逆时针旋转角度A,形成新的坐标系X-O-Y.在复平面来看,旧坐标系一点坐标(x,iy)对应新坐标系一点(X,iY),关系是:
(x + iy)(cosA + isinA)= X + iY
X = xcosA - ysinA
Y = xsinA + ycosA
这是一个转换关系公式,由于旋转的相对性,公式中(X,Y)和(x,y)可以相互交换,只是角度方向定义不同而已.(复数形式的推导相对简单,其他方法也可以证明.)
(2)假设新旧坐标转换关系如下:
x = XcosA - YsinA
y = XsinA + YcosA
将x,y代入原式子化简:
5x^2 +8 x y + 5y^2 = 9
5 X^2 + 5 Y^2 + 8 X Y Cos[2 A] + 4 X^2 Sin[2 A] - 4 Y^2 Sin[2 A]=9
选择A=45°,则:
5 X^2 + 5 Y^2 + 4 X^2 - 4 Y^2 = 9
9 X^2 + Y^2 =9
X^2/1^2 + Y^2/3^2 = 1
这是一个标准的椭圆方程,长半轴是3,短半轴是1 .
新坐标系逆时针旋转45°和原坐标系重合.
(ok)