已知x,y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 08:29:21
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已知x,y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
已知x,y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
已知x,y ∈R求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
证明:
(一)充分性:
若|X+Y|=|X|+|Y|
则|X+Y|^2=(|X|+|Y|)^2
即:X^2+Y^2+2XY=|X|^2+|Y|^2+2|X||Y|
∴XY=|X||Y|
∴XY≥0
∴|X+Y|=|X|+|Y|的充分条件是XY≥0
(二)必要性:
若xy≥0
则分为以下几种情况:
(1)当x、y>0时
│x+y│=x+y=|x│+│y│
(2)当x、y<0时
│x│=-x │y│=-y
│x+y│=-(x+y)=-x+(-y)=│x│+│y│
(3)当X与Y中有一个为0时,显然有
│x+y│=x+y=|x│+│y│
∴|X+Y|=|X|+|Y|是XY≥0的必要条件
综上:|X+Y|=|X|+|Y|的充要条件是XY≥0
希望可以采纳
解答:证明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0②x≠0,y=0③x=0,y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立.
如果xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,
当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.
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解答:证明:充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0②x≠0,y=0③x=0,y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立.
如果xy>0即x>0,y>0或x<0,y<0
当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,
当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.
必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R
得(x+y)2=(|x|+|y|)2即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立,
综上,原命题成立.
故结论成立.
求采纳
收起
证明:
必要性:
|x+y|=|x|+|y|
两边平方:
x^2+2xy+y^2=x^2+2|xy|+y^2
所以:
|xy|=xy>=0
所以:xy>=0
充分性:
以上过程逆推即可
命题得证