高数,比这2个积分大小∫(0~正无穷大)e^(-x^2)dx >∫(0~1)e^(-x^2)dx为什么
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 00:39:46
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高数,比这2个积分大小∫(0~正无穷大)e^(-x^2)dx >∫(0~1)e^(-x^2)dx为什么
高数,比这2个积分大小
∫(0~正无穷大)e^(-x^2)dx >∫(0~1)e^(-x^2)dx为什么
高数,比这2个积分大小∫(0~正无穷大)e^(-x^2)dx >∫(0~1)e^(-x^2)dx为什么
解析:
∫(0,+∞)e∧(-x²)dx
=∫(0,1)e∧(-x²)dx+∫(1,+∞)e∧(-x²)dx
所以要证明∫(0,+∞)e∧(-x²)dx>∫(0,1)e∧(-x)dx
只需证明∫(0,1)e∧(-x²)dx+∫(1,+∞)e∧(-x²)dx>∫(0,1)e∧(-x²)dx.
即证:∫(1,+∞)e∧(-x²)dx>0.
因为被积函数f(x)=e∧(-x²)>0恒成立,
由定积分的性质知
∫(1,+∞)e∧(-x²)dx>0.
从而
∫(0,+∞)e∧(-x²)dx>∫(0,1)e∧(-x²)dx.
证毕!
因为左边=右边+∫(1→+∞)e^(-x^2)dx
而e^(-x^2)>0,所以∫(1→+∞)e^(-x^2)dx>0,所以左边>右边
高数,比这2个积分大小∫(0~正无穷大)e^(-x^2)dx >∫(0~1)e^(-x^2)dx为什么
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