如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 11:57:55
如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
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如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!

如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
一个比较简单的方法:
首先,由变上限积分,g'(x) = f(x)
如果能求得f(x)的泰勒级数展式,那么通过以下的定理:
若f(x)任意阶可导,且f(x)于x = 0处的展开式为f(x) = f(0) + a1 * x + a2 *x^2 + ...+ an * x^n + o(x^n)
那么f'(x)在x = 0处有展开式f'(x) = a1 + 2 * a2 * x + ...+ n *an * x^(n-1) + o(x^(n-1))
这个定理类似于后面幂级数的“逐项求导”性质,但又不完全相同,证明也不涉及幂级数的知识.是一个求泰勒展开式很好用的公式.
有了上面的准备,实际上我们只用求出题中f(x)前四项的泰勒展式:
由cosx = 1 - x^2 / 2!+ x^4/4!-x^6/6!+ o(x^7),得
f(x) = (cosx - 1)/x^2 = -1/2 + x^2/4!-x^4/6!+ o(x^5)
再由前面提到的定理:
g'(x) = f(x) = -1/2 + x^2/4!-x^4/6!+ o(x^5)
所以g(x) = g(0) -1/2 * x + x^3 / (3*4!) -x^5/(5*6!) + o(x^6)
(这里其实是把那个定理逆过来用了,可以这么理因为g(x)是任意阶可导的,所以它的(带Peano余项)的泰勒展式必定任意阶存在.把它写出来,然后g'(x)也有一个对应的形式.但是我们现在已经知道了g'(x)的展开式的形式,所以就可以推出g(x)的展开式的形式)

注意:f(x)=(cosx-1)/x^2(x不等于0)

一道概率的问题,与分布函数有关求证:如果F(x)是分布函数,则对任何h≠0,函数G(x)=1/h∫F(t)dt (积分的上下限是x到x+h)和H(x)=1/2h∫F(t)dt (积分的上下限是x-h到x+h)也是分布函数 高等数学定积分奇偶性如果f(x)是偶函数,则“积分:(a,0)f(-t)dt=积分:(0,a)f(-t)dt”.这是为什么啊,变换积分上下限不是要变号吗?怎么不是:积分:(a,0)f(-t)dt=负积分:(0,a)f(-t)dt,如果改为积分:(a,b)f(-t)dt f为[0,1]上的可积函数 g(x)=积分f(t)/t dt(上限为1,下限为x) 证明在[0,1]上g(x)和f(x)的积分相同 先积分 再微分 怎么求?比如 d( ∫f(x)dx )/dt = f(t)吗?如果里面的积分有上下限怎么办?先积分 再微分 怎么求?比如 d( ∫f(x)dx )/dt = f(t)吗?如果里面的积分有上下限怎么办?假如内部的积分是 ∫f(x)dx 己知g(x)为连续函数,g(1)=5,∫(下0,下1)g(t)dt=2,若f(x)=(1/2)·[∫(下0,上x)(x-t)^2·g(t)dt] .证明:f'(x)=x∫(下0,上x)g(t)dt-∫(下0,上x)t·g(t)dt 并计算f''(1)和f'''(1)≠ 高数:已知f(x)=x-2∫f(t)dt.[是0到1上的定积分],求f(x) 已知:积分号上x下0(x-t)f(t)dt=1-cosx 证明:积分号上π(圆周率)下0 f(x)dx=1 . 定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式 求定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式 求定积分 F(x)=∫ (x,1) sint/t dt 设f(x)是在R上是以T为周期的连续函数,证明如果f(x)是奇函数,F(x)=∫_0^x〖f(t)dt〗也是以T为周期的函数公式从word上复制过来格式有些错误,F(x)=积分号,上限为x,下限为0,f(t)dt, 关于积分中值定理的f(x)和g(x)在[a,b]可导连续;[a,b) 上,∫(x,a) f(t)dt>=∫(x,a) g(t)dt,∫(b,a)f(x)dx=∫(b,a) g(x)dx,证:∫(b,a) xf(x)dx f(x)连续,g(x)=∫ t^2f(t-x)dt,求g'(x) f(x)连续,g(x)=∫ t^2f(t-x)dt,求g'(x) 对积分上限函数 如果被积函数中有xf(x+t)dt这种形式,该怎么换回f(t)dt形式?例:设f(x)连续,且∫ _0^x tf(x-t)dt=1-cosx,则∫ _0^π/2 f(x)dx=?(0为积分下限) 如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6! 求定积分的最值求f(x)=∫(-1,1)|t-x|e^t dt在[-1,1]上的最大值 f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数,证明:存在ξ属于 (a,b),使得f(ξ)∫b,ξ g(t)dt=g(ξ)∫ξ,a f(t)dt说明:∫ b,ξ指积分上下限分别为b,ξ ∫ξ,a同理