如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 11:57:55
如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
如果g(x)=1+∫f(t)dt(积分上限X下限0)f(x)=cosx-1/x^2(x不等于0) f(x)=-1/2(x=0时) 那么当x=0时 g的泰勒展开式的前四项是多少?为什么是1-x/2+x^3/3*4!-x^5/5*6!
一个比较简单的方法:
首先,由变上限积分,g'(x) = f(x)
如果能求得f(x)的泰勒级数展式,那么通过以下的定理:
若f(x)任意阶可导,且f(x)于x = 0处的展开式为f(x) = f(0) + a1 * x + a2 *x^2 + ...+ an * x^n + o(x^n)
那么f'(x)在x = 0处有展开式f'(x) = a1 + 2 * a2 * x + ...+ n *an * x^(n-1) + o(x^(n-1))
这个定理类似于后面幂级数的“逐项求导”性质,但又不完全相同,证明也不涉及幂级数的知识.是一个求泰勒展开式很好用的公式.
有了上面的准备,实际上我们只用求出题中f(x)前四项的泰勒展式:
由cosx = 1 - x^2 / 2!+ x^4/4!-x^6/6!+ o(x^7),得
f(x) = (cosx - 1)/x^2 = -1/2 + x^2/4!-x^4/6!+ o(x^5)
再由前面提到的定理:
g'(x) = f(x) = -1/2 + x^2/4!-x^4/6!+ o(x^5)
所以g(x) = g(0) -1/2 * x + x^3 / (3*4!) -x^5/(5*6!) + o(x^6)
(这里其实是把那个定理逆过来用了,可以这么理因为g(x)是任意阶可导的,所以它的(带Peano余项)的泰勒展式必定任意阶存在.把它写出来,然后g'(x)也有一个对应的形式.但是我们现在已经知道了g'(x)的展开式的形式,所以就可以推出g(x)的展开式的形式)
注意:f(x)=(cosx-1)/x^2(x不等于0)