一道线性代数题由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2,证明V1=V2.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 08:31:13
![一道线性代数题由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2,证明V1=V2.](/uploads/image/z/8840119-31-9.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%A2%98%E7%94%B1a1%3D%281%2C1%2C0%2C0%29T%2Ca2%3D%281%2C0%2C1%2C1%29T%E6%89%80%E7%94%9F%E6%88%90%E7%9A%84%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%AE%B0%E4%BD%9CV1%2C%E7%94%B1b1%3D%282%2C-1%2C3%2C3%29T%2Cb2%3D%280%2C1%2C-1%2C-1%EF%BC%89T%E6%89%80%E7%94%9F%E6%88%90%E7%9A%84%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%AE%B0%E4%BD%9CV2%2C%E8%AF%81%E6%98%8EV1%3DV2.)
一道线性代数题由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2,证明V1=V2.
一道线性代数题
由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2,证明V1=V2.
一道线性代数题由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2,证明V1=V2.
易知 r(a1,a2)=r(b1,b2)=2
又因为 (a1,a2,b1,b2)=
1 1 2 0
1 0 -1 1
0 1 3 -1
0 1 3 -1
r2-r1
1 1 2 0
0 -1 -3 1
0 1 3 -1
0 1 3 -1
r3+r2,r4+r2
1 1 2 0
0 -1 -3 1
0 0 0 0
0 0 0 0
所以 r(a1,a2,b1,b2)=r(a1,a2)=r(b1,b2)=2
所以 a1,a2 与 b1,b2 等价
所以 V1=V2.
只需证两者等价
只要证明两个向量组等价就可以了(观察四个向量的分量,可以很容易求出线性表示的系数。比如a1用b1,b2表示:a1的第一个分量是1,只能由b1的第一个分量得到,所以b1的系数是1/2,再由a1的第二个分量可知b2的系数是3/2,再验证第三四个分量,成立,所以a1=1/2(b1+3b2)。)
a1=1/2(b1+3b2),a2=1/2(b1+b2)。
b1=-a1+3a2,...
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只要证明两个向量组等价就可以了(观察四个向量的分量,可以很容易求出线性表示的系数。比如a1用b1,b2表示:a1的第一个分量是1,只能由b1的第一个分量得到,所以b1的系数是1/2,再由a1的第二个分量可知b2的系数是3/2,再验证第三四个分量,成立,所以a1=1/2(b1+3b2)。)
a1=1/2(b1+3b2),a2=1/2(b1+b2)。
b1=-a1+3a2,b2=a1-a2。
向量组a1,a2与b1,b2等价,所以V1=V2。
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