高等数学微分方程的问题求(x^2)y’+xy=y^2的通解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/01 07:54:41
高等数学微分方程的问题求(x^2)y’+xy=y^2的通解
高等数学微分方程的问题
求(x^2)y’+xy=y^2
的通解
高等数学微分方程的问题求(x^2)y’+xy=y^2的通解
两边同时乘以1/(x^2y^2)
y'/y^2+1/(xy)=1/x^2
令1/y=t.则dt/dx=-1/y^2*dy/dx
可知可化为:
dt/dx-t/x=-1/x^2
一阶非齐次线性方程,利用公式:
t=e^∫(1/x)dx(C+∫e^∫(-1/x)dx*(-1/x^2) dx)
=x(C+1/2x^2)
代入.1/y=t
1/y=Cx+1/(2x)
这是贝努里方程,可用变量代换化成一阶线性方程,
变形为 y^(-2)y'+1/x y^(-1)=x^(-2)
(y^(-1))'-1/x*y^(-1)=-x^(-2)
用公式得到 y^(-1)=e^(积分1/xdx)(积分-x^(-2)*e^(积分(-1/x)dx)dx+C)
=x(积分-x^(-2)*x^(-1)dx+C)
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这是贝努里方程,可用变量代换化成一阶线性方程,
变形为 y^(-2)y'+1/x y^(-1)=x^(-2)
(y^(-1))'-1/x*y^(-1)=-x^(-2)
用公式得到 y^(-1)=e^(积分1/xdx)(积分-x^(-2)*e^(积分(-1/x)dx)dx+C)
=x(积分-x^(-2)*x^(-1)dx+C)
=x(1/(2x^2)+C)
即通解为:1/y=Cx+1/(2x)
收起
伯努利方程,n=2,换元z=1/y,化为一阶线性方程z'-z/x=-1/x^2,所以z=Cx+1/(2x),回代z=1/y,得原方程通y=2x/(1+2Cx^2)