作业帮曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 08:14:09
曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
曲线积分、曲面积分的题：计算圆柱面x^2+y^2=R^2界于xOy平面及柱面z=R+x^2/R之间的一块面积
直接算的话,有些困难,可以这样弄,
找一个始终垂直于圆柱面x^2+y^2=R^2且强度为1的
场源E=(x/√(x^2+y^2) ,y/√(x^2+y^2),0)
然后求出他们通过所截圆柱面的通量,因为通量=∫∫E*ds=1∫∫ds=S
所以 通量即为面积
在柱面∑1：x^2+y^2=R^2,xOy平面∑2,及柱面∑3：z=R+x^2/R所围成曲面∑,
∫∫∑ (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz+y/√(x^2+y^2)dzdx+0dxdy
(高斯公式）
=∫∫∫(1/√(x^2+y^2))dxdydz
=∫∫∫drdθdz
=∫(0->2π)dθ∫(0->R)dr∫(0->R+r^2(cosθ)^2/R)dz
=7πR^2/3
因为∫∫∑1+∑2+∑3 (Eds)=∫∫∑ (Eds)=7πR^2/3
且易得,∫∫∑2 (Eds)=0
下面求∫∫∑3 (Eds)
由于∑3在xoz面的投影面积为0,所以dxdz=0
所以∫∫∑3 (Eds)=∫∫(x/√(x^2+y^2))dydz =∫∫[(x/√(x^2+y^2))*(-2x/R)]dxdy
=(-2/R)∫∫(rcosθ)^2drdθ
=-2πR^2/3
所以∫∫∑1 (Eds)=∫∫∑ (Eds)-∫∫∑2 (Eds)-∫∫∑3 (Eds)=(7πR^2/3)-(-2πR^2/3)
=3πR^2
所求曲面的面积为S=3πR^2
思路清晰的话,差不多都是圆域积分,用极坐标做,计算量不大