O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 16:43:25
![O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.](/uploads/image/z/9999969-33-9.jpg?t=O%E4%B8%BA%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2CBO%E3%80%81CD%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4AC%2CAB%E4%BA%8ED%E3%80%81E%2C%E8%8B%A5BE%C3%97BA%EF%BC%8BCD%C3%97CA%EF%BC%9DBC%26%23178%3B%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AA%E3%80%81D%E3%80%81O%E3%80%81E%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86.)
O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.
O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.
O为△ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BE×BA+CD×CA=BC²,求证:A、D、O、E四点共圆.
作∠CDF = ∠ABC 交CB于F,连接EF
△CDF 相似于△CBA,
所以 CD×CA = CF×CB = CF×(CF+FB)
即有 BE×BA = BC^2-CD×CA =(CF+FB)^2 -CF×(CF+FB)=FB×(FB+CF)= BF×BC
又 ∠EBF=∠CAB ,所以△BEF相似于△BCA
综上,△CDF 相似于△CBA 相似于△EBF
所以 CF/DF=EF/BF,∠EFC=∠EFD+∠DFC=∠EFB+∠DFC=∠DFE.
因此 △CFE 相似于 △DFB
于是,∠ADB=∠DCF+∠DBF=∠BEF+∠CEF=∠BEC
所以 ∠ADB +∠AEC =∠BEC +∠AEC = 180°
对角互补的四边形,四个顶点在同一圆上 ,所以A,D,O,E四点共圆
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