求微分方程y''+y=(1/2)cos3x的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/18 10:33:59

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求微分方程y''+y=(1/2)cos3x的通解
求微分方程y''+y=(1/2)cos3x的通解

求微分方程y''+y=(1/2)cos3x的通解
特征方程
r^2+1=0
r=±i
齐次通解
y=C1cosx+C2sinx
设非齐次特解是
y=acos(3x)+bsinx(3x)
y'=-3asin(3x)+3bcos(3x)
y''=-9acos(3x)-9bsin(3x)
代入原方程得
-9acos(3x)-9bsin(3x)+acos(3x)+bsinx(3x)=1/2cos(3x)
-8acos(3x)-8bsin(3x)=1/2cos(3x)
-8a=1/2,-8b=0
a=-1/16,b=0
非齐次特解是
y=-1/16cos(3x)
所以原方程的解是
y=C1cosx+C2sinx+-1/16cos(3x)

1. 齐次通解Y
特征方程为
r平方＋1=0
r=±i
Y=c1cosx＋c2sinx
2.一个特解y*
设特解形式为y*=acos3x＋bsin3x
y*'=-3asin3x+3bcos3x
y*''=-9acos3x-9bsin3x
代入原方程，得
-9acos3x-9bsin3x+acos3x+bsin3x=1/...

全部展开

1. 齐次通解Y
特征方程为
r平方＋1=0
r=±i
Y=c1cosx＋c2sinx
2.一个特解y*
设特解形式为y*=acos3x＋bsin3x
y*'=-3asin3x+3bcos3x
y*''=-9acos3x-9bsin3x
代入原方程，得
-9acos3x-9bsin3x+acos3x+bsin3x=1/2cos3x
(-8a)cos3x+(-8b)sin3x=1/2cos3x
-8a=1/2,-8b=0
a=-1/16,b=0
y*=-1/16cos3x
所以
通解为
y=Y+y*
=c1cosx+c2sinx-1/16cos3x

收起

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