设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 22:49:14
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设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
定义域(0,+∞)
求导得f'(x)=1+ 1/x² -a/x =(x²-ax+1)/x²
然后根据x²-ax+1的正负情况确定单调性
令h(x)=x²-ax+1
这是一个过定点(0,1)开口向上的抛物线
对称轴是x=a/2
(1)当a/2≤0或△≤0 即a≤2时,h(x)在(0,+∞)恒大于等于0
此时f(x)在(0,+∞)是增函数
(2)当a/2>0且△>0 即a>2时
h(x)=0的两根是[a±√(a²-4)]/2
作出h(x)的草图,由图可知
f(x)在(0,[a-√(a²-4)]/2)和([a+√(a²-4)]/2,+∞)是增函数
在(a-√(a²-4)]/2,a+√(a²-4)]/2)是减函数
f ’(x)=1+1/x²-a/x=(x²-ax+1)/x²=((x-a/2)²+1-a²/4)/x²
当-2<=a>=2 1-a²/4>0时,即 f ‘ (x)>=0 此时 f(x)单调递增
当 a<-2或a>2时 f ’ (x)=(x-a/2-##)(x-a/2+##)/x² ...
全部展开
f ’(x)=1+1/x²-a/x=(x²-ax+1)/x²=((x-a/2)²+1-a²/4)/x²
当-2<=a>=2 1-a²/4>0时,即 f ‘ (x)>=0 此时 f(x)单调递增
当 a<-2或a>2时 f ’ (x)=(x-a/2-##)(x-a/2+##)/x² 备注 ## =√(a²-4)/2 实在写不出来这个~
x<a/2-##或 x>a/2+##时 f ‘(x)>0 f(x)单调递增
a/2-##<x<a/2+##时 f ’(x)<0 f(x)单调递减
额,这题让我写的~~诶,数学符号太头痛!
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