如图,△ABC的高AD、BE相较于点H,AD、BE的延长线分别交外接圆于G,F求证HD=GD,AH·HD=BH·EF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 04:01:43
![如图,△ABC的高AD、BE相较于点H,AD、BE的延长线分别交外接圆于G,F求证HD=GD,AH·HD=BH·EF](/uploads/image/z/6133637-29-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E9%AB%98AD%E3%80%81BE%E7%9B%B8%E8%BE%83%E4%BA%8E%E7%82%B9H%2CAD%E3%80%81BE%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E4%BA%8EG%2CF%E6%B1%82%E8%AF%81HD%3DGD%2CAH%C2%B7HD%3DBH%C2%B7EF)
如图,△ABC的高AD、BE相较于点H,AD、BE的延长线分别交外接圆于G,F求证HD=GD,AH·HD=BH·EF
如图,△ABC的高AD、BE相较于点H,AD、BE的延长线分别交外接圆于G,F
求证HD=GD,AH·HD=BH·EF
如图,△ABC的高AD、BE相较于点H,AD、BE的延长线分别交外接圆于G,F求证HD=GD,AH·HD=BH·EF
一)求证:HD=GD
连接辅助线BG
1)因为ABGC四点同圆,推出∠BGH=∠DCE
2)因为四边形HDCE内角和为360,推出∠DCE+∠DHE=180
3)图中∠DHE+∠DHB=180
4)从2),3)推出∠DCE=∠DHB
5)结合1),4)推出∠BGH=∠DHB
得到BG=BH,HD=GD
二)求证:AH·HD=BH·EF
连接辅助线AF
相同以上推导过程,同样得到AH=AF,HE=EF
由等腰三角形原理,对角相等原理可以得到:
∠BGH=∠DHB=∠AHF=∠AFH
以上推出两个相似三角形为:△AHF相似于△BHG
从而推出:BH/HG=AH/HF
数学演绎:BH/(HG/2)=AH/(HF/2);EF=HF/2;HD=HG/2;
从而得到:BH/HD=AH/EF
也就得到最终结果:AH·HD=BH·EF
⑴∵∠CBE+∠C=90°=∠CAD+∠C
∴∠CBE=∠CAD
连结BG,则∠CAD=∠CBG
∴∠DBH=∠CBE=∠CBG=∠DBG
∵BD=BD,∠BDH=∠BDG=90°
∴△DBG≌△DBH
∴HD=DG
⑵∵△AEH∽△BDH
∴AH/BH=HF/HD
∴AH·HD=BH·HE
仿⑴可证明EF=HE
全部展开
⑴∵∠CBE+∠C=90°=∠CAD+∠C
∴∠CBE=∠CAD
连结BG,则∠CAD=∠CBG
∴∠DBH=∠CBE=∠CBG=∠DBG
∵BD=BD,∠BDH=∠BDG=90°
∴△DBG≌△DBH
∴HD=DG
⑵∵△AEH∽△BDH
∴AH/BH=HF/HD
∴AH·HD=BH·HE
仿⑴可证明EF=HE
∴AH·HD=BH·EF
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