设a=(3/2,sinα),b(cosα,1/3),且a‖b,则锐角α为2sina.cosa=sin2a 为什么?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/19 17:36:24
设a=(3/2,sinα),b(cosα,1/3),且a‖b,则锐角α为2sina.cosa=sin2a 为什么?
设a=(3/2,sinα),b(cosα,1/3),且a‖b,则锐角α为
2sina.cosa=sin2a 为什么?
设a=(3/2,sinα),b(cosα,1/3),且a‖b,则锐角α为2sina.cosa=sin2a 为什么?
a‖b,则(3/2)/cosa=sina/(1/3)
所以1=2sina*cosa=sin2a 故a=45
注:2sina*cosa=sina*cosa+cosa*sina=sin(a+a)=sin2a
(根据两角和公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)
证: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
如图所示:∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α.
则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα);C[cos(α+β),sin(α+β)].
∵ OA=OB=OC=OD=1
∴ CD=AB.
∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2;
=cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β);
=2-2 cos(α+β).
AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2;
=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β;
=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ].
∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
∴ sin(α+β)= cos(90°-α-β)
=cos[(90°-α)+(-β)]
=cos(90°-α)cos(-β)- sin(90°-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ;
向量a平行于b 则他们a=k倍b k为一常数 即(3/2)/cosa=sina/(1/3)
解得1=2sina.cosa=sin2a 故a=45