四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2求异面直线AB与CD所成角的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/14 22:37:56
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四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2求异面直线AB与CD所成角的大小
四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2
求异面直线AB与CD所成角的大小
四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2求异面直线AB与CD所成角的大小
分析:(1)设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点,通过正三角形,以及计算证明AO⊥CO,从而证明AO⊥平面BCD;
(2)利用三面角公式直接求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦,然后求出角的大小;
(3)利用射影面的面积与被射影面的面积的比,求二面角O-AC-D的大小.
(1)设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点,
所以有AO⊥BD,可求得AO=1,CO= √3,又有AC=2
所以∠AEC=90°,即AO⊥CO
BD,CO是平面BCD内两条相交直线,故有AO⊥平面BCD.
(2)由(1)可知BD⊥面AOC,
所以面BCD⊥面AOC,AO=1,CO= √3,AC=2
A点在BCD面内的投影为O,
cos<AB,CD>=cos∠ABD•cos∠BDC= √2/2×12=√ 2/4
异面直线AB与CD所成角的大小:arccos √2/4.
如图
连接AO,OC,
由题目给出的各个边长可知
AO⊥BD,CO⊥BD
所以BD⊥面AOC
所以面BCD⊥面AOC
AO=1,CO=√3,AC=2
所以AO⊥BD,所以AO⊥面BCD
即,A点在BCD面内的投影为O
故,
cos
=√2/2×1...
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如图
连接AO,OC,
由题目给出的各个边长可知
AO⊥BD,CO⊥BD
所以BD⊥面AOC
所以面BCD⊥面AOC
AO=1,CO=√3,AC=2
所以AO⊥BD,所以AO⊥面BCD
即,A点在BCD面内的投影为O
故,
cos
=√2/2×1/2
=√2/4
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