matlab解微分方程y“(x)+2y'(x)+2y(x)=xe^(-x),y(0)=0,y‘(0)=0,求过程及结果
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/13 21:22:24
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matlab解微分方程y“(x)+2y'(x)+2y(x)=xe^(-x),y(0)=0,y‘(0)=0,求过程及结果
matlab解微分方程y“(x)+2y'(x)+2y(x)=xe^(-x),y(0)=0,y‘(0)=0,求过程及结果
matlab解微分方程y“(x)+2y'(x)+2y(x)=xe^(-x),y(0)=0,y‘(0)=0,求过程及结果
在命令窗口直接输入
y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=x*exp(-x)','Dy(0)=0,y(0)=0','x')
可以得到结果
y=(sin(x)*(cos(x) + x*sin(x)))/exp(x) - (cos(x)*(sin(x) - x*cos(x)))/exp(x) - sin(x)/exp(x)
非齐次线性方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
首先,令方程右端为0;y“(x)+2y'(x)+2y(x)=0 ;特征方程为:r²﹢2r﹢2=0 ,特征根:r=-1±i
所以:齐次方程的通解为:Y=e^(-x)(asinx+bcosx) a,b为常数
设 非齐次方程的特解为:y*=e^(-x)·(Ax+B)·(x^k)
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非齐次线性方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解
首先,令方程右端为0;y“(x)+2y'(x)+2y(x)=0 ;特征方程为:r²﹢2r﹢2=0 ,特征根:r=-1±i
所以:齐次方程的通解为:Y=e^(-x)(asinx+bcosx) a,b为常数
设 非齐次方程的特解为:y*=e^(-x)·(Ax+B)·(x^k)
因为e^(-x)中的指数的系数为:-1,不是特征方程的根,所以k=0
设y*=e^(-x)·(Ax+B) ①
现在对y*求一阶导,得出y*'=············· ②
再对y*求二阶导,得出y*''=················ ③
把y*,y*',y*'' 代入原方程,利用对应系数相等,可以解出:A=····B=·····
写出y*=·············· 把y(0)=0代入① ,y'(0)=0代入②
解出:y*=········································
方程通解为:Y+y*
具体的求导步骤请自己计算一下。
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