必修五 不等式 证明题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/05 05:10:12
必修五 不等式 证明题
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必修五 不等式 证明题
必修五 不等式 证明题

必修五 不等式 证明题
证明：设向量x=(1,a),y=(1,b).
向量 x+y=(2,a+b)
由向量模不等式|x|+|y|≥|x+y|得
√(1+a^2)+√(1+b^2)≥√[2^2+(a+b)^2]
不等式两边都除以2得
[√(1+a^2)+√(1+b^2)]/2≥√{1+[(a+b)/2]^2}

不等式两边平方
左边=[2+a^2+b^2+2*根号(1+a^2)*根号(1+b^2)]/4
右边=[4+a^2+b^2+2ab]/4
左边-右边得：
[2*根号(1+a^2)*根号(1+b^2)-2ab-2]/4
即：
[根号(1+a^2)*根号(1+b^2)-ab-1]/2
又因为(1+a^2)(1+b^2)=a^2*b^2+a^2+b^...

全部展开

不等式两边平方
左边=[2+a^2+b^2+2*根号(1+a^2)*根号(1+b^2)]/4
右边=[4+a^2+b^2+2ab]/4
左边-右边得：
[2*根号(1+a^2)*根号(1+b^2)-2ab-2]/4
即：
[根号(1+a^2)*根号(1+b^2)-ab-1]/2
又因为(1+a^2)(1+b^2)=a^2*b^2+a^2+b^2+1>=a^2*b^2+2ab+1
则根号(1+a^2)*根号(1+b^2)-ab-1>=0
则左边>=右边
得证

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