作业帮设x,y为实数,且x^2+y^2=4则2xy/(x+y-2)的最小值是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 04:34:51
设x,y为实数,且x^2+y^2=4则2xy/(x+y-2)的最小值是多少
设x,y为实数,且x^2+y^2=4则2xy/(x+y-2)的最小值是多少
设x,y为实数,且x^2+y^2=4则2xy/(x+y-2)的最小值是多少
已知x²+y²=4,求2xy/(x+y-2)的最小值.
由于(x-y)²≥0,展开得：2xy≤x²+y²,则有：
x²+y²+2xy≤2(x²+y²)
(x+y)²≤2(x²+y²)=8
得：-2√2≤x+y≤2√2,
所以有：
2xy/(x+y-2)
=(x²+y²+2xy-4)/(x+y-2)
=[(x+y)²-4]/(x+y-2)
=(x+y+2)(x+y-2)/(x+y-2)
=x+y+2≥2-2√2
因此,2xy/(x+y-2)的最小值是2-2√2.
由x^2+y^2=4变形为|x-0|^2+|y-0|^2=2^2很容易联想到以原点为圆心，半径为2的圆的解析式，没错就是它了。（PS：把纯代数问题转化为几何问题直观求解是种很重要的手段，像这种2元2次方程且只一个方程本是要涉及到大学隐函数问题的，将它转为几何问题使得求解变为可能。类似的，像把数轴上点的问题转化为距离或向量也类似）
下面详细求有圆的解析式为x^2+y^2=2^2,直线y=-x...
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由x^2+y^2=4变形为|x-0|^2+|y-0|^2=2^2很容易联想到以原点为圆心，半径为2的圆的解析式，没错就是它了。（PS：把纯代数问题转化为几何问题直观求解是种很重要的手段，像这种2元2次方程且只一个方程本是要涉及到大学隐函数问题的，将它转为几何问题使得求解变为可能。类似的，像把数轴上点的问题转化为距离或向量也类似）
下面详细求有圆的解析式为x^2+y^2=2^2,直线y=-x+2,要求2xy/(x+y-2)的最小值，也就是求圆x^2+y^2=2^2上点（x,y）且|x|=|y|到直线y=-x+2的最小距离，
易得：最小距离为2-√2，最大距离为2+√2，故2xy/(x+y-2)的最小值是2-√2
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