函数f(x)=x^2+8/x,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 07:07:50
![函数f(x)=x^2+8/x,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.](/uploads/image/z/963200-56-0.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2B8%2Fx%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E5%BD%93a%3E3%E6%97%B6%2C%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3Df%28a%29%E6%9C%893%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9.)
函数f(x)=x^2+8/x,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
函数f(x)=x^2+8/x,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
函数f(x)=x^2+8/x,证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
x^2+8/x= a^2+8/a
(x-a)[x+a - 8/(x*a)]=0
ax(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
因为x≠0,a>3
(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
所以x=a是其中一个根,要证明x^2+8/x= a^2+8/a有3个实数根.
只要证明:ax^2+a^2x - 8=0另有两根,
当
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根,那么有 a^4+4a*8>0
而它在a>0时,恒成立.
而且x=a不是其中一个根
因为a^3+a^3-8=0,a=4的立方根,不等于3,
所以当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根
其实这题中,当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
如图,只要a<x1或0<a≠x2(x2=4的立方根)关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
因为a>3,所以a^3+a^3-8>27+27-8>0
x^2+8/x= a^2+8/a
化简得到
(x-a)[x+a - 8/(x*a)] 所以x=a是其中一个根
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根 那么 有 a^4+4a*8>0
a>3的时候恒成立
而且x=a不是其中一个根
...
全部展开
x^2+8/x= a^2+8/a
化简得到
(x-a)[x+a - 8/(x*a)] 所以x=a是其中一个根
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根 那么 有 a^4+4a*8>0
a>3的时候恒成立
而且x=a不是其中一个根
因为a^3+a^3-8>27+27-8>0
所以有3个实数根
收起
怎么我证出来只有2个根呢? 令g(x)=f(x)-f(a)=(x^2+8/x)-(a^2+8/a) 对g求导,得 g'(x)=2x-8/x^2=2(x^3-4)/x^2 g'(x)=0 的点只有一个,即x=x0=4^(1/3)<3 x<x0, g'(x)<0, g(x)单调递减 x>x0, g'(x)>0, g(x)单调递增 而g(x0)=((4^(1/3))^2+8/(4^(1/3)))-(a^2+8/a)<0 g(0)->+∞,g(+∞)->+∞ 即x<x0时,g(x)与x轴有一个交点;x>x0时,g(x)与x轴有一个交点; 即g(x)与x轴只有2个交点,即方程f(x)=f(a)只有2个实数根 还有一个根在哪里??? 有图为证: